摘要：它以 爱德华·卢卡斯 和 罗伯特·丹尼·卡迈克尔命名. 按照约定, 一个数被称作卢卡斯-卡米切尔数当且仅当它是奇数并且是 无平方数因数的数 (不能被一个质数的平方整除), 否则任何质数的立方,像8和27, 都将成为卢卡斯-卡米切尔数 (因为 n3 + 1 = (n + 1)(n2 − n + 1)。...它以 爱德华·卢卡斯 和 罗伯特·丹尼·卡迈克尔命名. 按照约定, 一个数被称作卢卡斯-卡米切尔数当且仅当它是奇数并且是 无平方数因数的数 (不能被一个质数的平方整除), 否则任何质数的立方,像8和27, 都将成为卢卡斯-卡米切尔数 (因为 n3 + 1 = (n + 1)(n2 − n + 1)。
哥德巴赫猜想另一个较弱的版本（也称为弱哥德巴赫猜想）是猜想大于5的奇数都可以表示成3个质数之和。这个猜想可以从哥德巴赫猜想推出。1937年，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫证明了每个充分大（英语：Eventually (mathematics)）的奇数都可以表示成3个质数之和；2013年，秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特完全证明了弱哥德巴赫猜想。。
ge de ba he cai xiang ling yi ge jiao ruo de ban ben （ ye cheng wei ruo ge de ba he cai xiang ） shi cai xiang da yu 5 de qi shu dou ke yi biao shi cheng 3 ge zhi shu zhi he 。 zhe ge cai xiang ke yi cong ge de ba he cai xiang tui chu 。 1 9 3 7 nian ， su lian shu xue jia yi wan · wei nuo ge la duo fu zheng ming le mei ge chong fen da （ ying yu ： E v e n t u a l l y ( m a t h e m a t i c s ) ） de qi shu dou ke yi biao shi cheng 3 ge zhi shu zhi he ； 2 0 1 3 nian ， mi lu shu xue jia ha luo de · he ou fu ge te wan quan zheng ming le ruo ge de ba he cai xiang 。 。
167（一百六十七）是166与168之间的自然数。 第39个质数。前一个为163、下一个为173。 陈素数，下一个奇数169是质数的平方。 艾森斯坦素数。 高斯质数之一。 第78个十进制的等数位数。前一个为166、下一个为169。 快乐数，因为以其每位数平方相加可得到1^2 + 6^2 + 7^2 =。
Arithmetic）》中，尽管该著作中的这一筛法是从3开始，从奇数中依次筛去奇数的倍数，而非从自然数中筛去质数的倍数。 埃拉托斯特尼筛法通过不断地标记当前质数的所有倍数为合数，从而取得最小的未标记整数为下一个质数。不过，在实际使用此筛法寻找一个范围内的质数时，不需要检查范围内所有整数，也不需要对每个质数都标记其所有的倍数。 寻找 N。
{\displaystyle x+n} 都是合数。 分类合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个可表示为两个质数之乘积的合数称为半质数，有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中，亦可以將合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。对於后者， μ ( n ) = ( − 1 ) 2 x = 1。
的二次剩余的个数不可能超过n/2 + 1（n为偶数）或(n + 1)/2（n为奇数）。 两个二次剩余的乘积必然还是二次剩余。 对于质数2，每个整数都是它的二次剩余。 以下討论 p {\displaystyle p} 是奇质数的情况： 对於 X {\displaystyle X} ， X 2 ≡ d (。
任一大於5的奇数，都可表示成一个质数及偶半质数之和。 若以数学式表示，则对於每一个大於2的整数n，都可以找到质数p和q，满足以下的方程式： 2n + 1 = p + 2q 有一个类似的猜想，为「任何正奇数皆可表为2n²+p的形式，其中，n为自然数或0，p为质数」，一般认为，它在某一数之后均成立，而在小於121。
{\displaystyle m+8a} 、。。中所有质数的非剩余，如果这种质数存在的话。但此种质数的存在性直到数十年后才由狄利克雷证明。 艾森斯坦的公式则需要两数互质才能成立： 如果 a , b , a ′ , b ′ {\displaystyle a,b,a',b'} 是正奇数，且 gcd ( a , b ) =。
是否为一质数。此类形式的质数称之为阶乘质数。其他具p+1或p-1之类形式的质数还包括索菲·热尔曼质数（具2p+1形式的质数，其中p为质数）、质数阶乘质数、费马质数与梅森质数（具2p − 1形式的质数，其中p为质数）。卢卡斯-雷默质数测试对这类形式的数特別地快。这也是为何自电脑出现以来，最大已知质数总会是梅森质数的原因。。
第1个、最小，且唯一为奇数的质数间隙为1，是在唯一「一个偶质数2」与「第一个奇质数3」之间的质数间隙。剩下的其他质数间隙均为偶数。在3个相邻的质数间的1对质数间隙均为质数，只有在质数3、5及7之间的g2 及g3 一种而已。 对任一质数P，可定义一质数乘积P#，为所有小於等於P的质数之乘积。若Q为P之后的质数，则数列。
考虑对质数有无穷个的证明。欧几里得的证明本身是构造性的，不过有一种常用的方法来简化欧几里得的证明，它先假设质数的数量是有限的，那么必然会有一个最大的质数，将它记为n。然后考虑n! + 1（n阶乘加1），这个数字要么本身是质数，要么是合数且存在一个大于n的质因子，因为小于等于n的质数。
{\displaystyle d_{i}} 称为奇数。 4.4 当奇数 d i {\displaystyle d_{i}} =1时，乘率 x i {\displaystyle x_{i}} =定母 m i ′ {\displaystyle m'_{i}} 。 4.5 当奇数 d i {\displaystyle。
质数可证明是无限多，而它们可以不同质数公式生成。以下列出头500个质数，並以英文字母顺序將不同种类的质数中的第一批。 列出来。 以下共有二十五行，二十列，每行二十个连续质数。（OEIS数列A000040） 哥德巴赫猜想证明研究报告声称可用来计出1018內所有质数。
set），「几乎所有」一词也可表示除了可数集下的所有元素，其正式名称为余可数集（cocountable set），参照几乎。 简单的例子是几乎所有质数是奇数，事实上只有一个质数（2）不是奇数，其余的都是奇数。 当討论到实数时，「几乎所有」一词有时表示除了勒贝格测度为0的集合以外的所有实数，其正式名称为几乎处处。此概念下，几乎。
奇数房间就都能够空出来以容纳新的客人。 我们甚至能够将可数无限个客车上的旅行团员（其中每个客车上有可数无限个客人）安排进旅馆。不过，这需要有一个前提条件：所有客车上的每个座位都已经编好了次序（即旅馆管理员对客人的安排满足选择公理）。首先，如同前面一样将所有奇数。
以构造一个反例，来证明命题是错误的。例如证明命题“2的质数次幂减一后不总是质数”，便可用构造法： 只需证明存在某个质数 p {\displaystyle p} ，使得2的 p {\displaystyle p} 次幂减一后不是质数。为此，考察质数11。2的 11 {\displaystyle 11}。
数论中，斯特恩质数（英语：Stern prime）是不能写成质数跟非零平方数两倍之和的质数。换言之，若 p {\displaystyle p} 为质数，且不存在质数 q {\displaystyle q} 和正整数 b {\displaystyle b} 使 p = q + 2 b 2 {\displaystyle。
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费马平方和定理陈述，毕达哥拉斯质数可以表示为二个平方数的和，其他质数除了2以外（2=12+12）都不能表示为二个平方数的和。毕达哥拉斯质数及2会在高斯整数的范数中出现，其他的质数不会是高斯整数的范数。 毕达哥拉斯质数可以表示为一个奇数的平方数与一个偶数的平方数的和：毕达哥拉斯质数是可以表示为a2+4b2形式的质数。。
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人们相信5应该是不可及数中唯一的奇数，但这尚未获得证明。可以由稍强化的哥德巴赫猜想得到此推论。如果这个猜想成立，那么除了2和5，不可及数都应该是合数。 完全数显然不是不可及数：完全数正好等于自身所有因子之和。 梅森数显然不是不可及数：2的冪的真因数和正好等于梅森数。 质数进位由1组成的纯位数显然不是不可及数：质数冪的真因数和等於质数进位由1组成的纯位数。。
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在月光理论的数学分支中，超奇异质数（Supersingular prime）是怪兽群（Monster group，最大的简单散在群）“M”阶数的质因数 。超奇异质数只有15个：包括前11个质数（2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31）、41、47、59和71。（OEIS数列A002267） 不是超奇异质数。
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